基数

いろいろなところ(カレンダーや時計etc)で「数字」が出てきます。
この数字というのは、ある事象の大きさを表すことに用いられますね。
１０進数と言うのは普段一番よく使われる数字のことで、
０〜９までの１０個(０，１，２，３，４，５，６，７，８，９)を基数とする表記法のことです。
１０進数で「３２１」とあると、通常は「さんびゃくにじゅういち」と読み、
意味として、「３が１００個、２が１０個、１が１個」あるということを表しています。
なぜ「３」は「１００」なのに「２」や「１」は「１００」ではないかというと、
「１０進数において右から３番(桁)目は１０の二乗なので、３は１００」であり、
「右から２番(桁)目は１０の一乗で１０、一番右の桁は１０の〇乗で１」だから、です。
言い方を変えると、「右から３番目は１０の重み(係数)が２つ(二乗)付いている」となります。
１０進数において、係数は１，１０，１００，１０００，…と桁数に比例して１０倍ずつ増えます。
つまり、「右からＸ番目の桁は、１０の重みが『Ｘ−１』乗だけ付いている」ということです。
各々の数字に、各々の係数を乗算することで、その数全体の大きさを知ることができます。

「３２１」は「『３×１０の二乗』＋『２×１０の一乗』＋『１×１０の０乗』」

Ｘの０乗は、Ｘがどんな数字であっても答えは１となるので、知らなかった人は覚えておきましょう。
繰り上がりの話ですが、１０進数では、基本である「０」から順に１ずつ増えて行き、
１０種類目の「９」の次は再び「０」に戻り、上位(左側)桁に「１」が現れます。
この表現が分かりにくいなら、見えてないけど、元々全ての桁に初期値の０が入っていると考え、
「９」が「０」になり、左側の「０」に「１」足されて「１」になると考えてください。
これが、数字の繰り上がりと言うものです。


２進数や１６進数と言うものも、１０進数と原理は同じです。
例えば２進数なら、基本の「０」から２種類の数字(０，１)を用いて、
桁上がりは、用いる数字の中で最も大きい「１」の次ですので、
「０」「１」の次は「１０」となり、「１１」の次は「１００」となります。
「１０」や「１１」の読み方ですが、「じゅう」や「じゅういち」ではなく、
「いちぜろ」「いちいち」と読むのが普通だと思います。
重み(係数)も「２のＸ−１乗」となり、右端桁は０乗の為に１０進数と同じ「１」になりますが、
右から２番目の係数は「２」、３番目は「４」、４番目は「８」、５番目は「１６」…となります。


１６進数も同じですが、基数が１０進数より大きく、１桁で１６種類必要となります。
１０種類(０〜９)はそのままで、以降はアルファベットをＡ(またはａ)から順に用います。
つまり、１６進数の場合は「０〜９」と「Ａ〜Ｆ」ですね。
読み方も２進数と同じで、「いちいち」や「いちびー」等となる…と思います。
係数は「１６のＸ−１乗」なので、右端桁から順に「１」「１６」「２５６」「４０９６」…です。


１０進数と２，１６進数のそれぞれの値の対応表を書くと、


 
２進数１０進数１６進数

 
０００

 
１１１

 
１０２２

 
１１３３

 
１００４４

 
１０１５５

 
１１０６６

 
１１１７７

 
１０００８８

 
１００１９９

 
１０１０１０Ａ

 
１０１１１１Ｂ

 
１１００１２Ｃ

 
１１０１１３Ｄ

 
１１１０１４Ｅ

 
１１１１１５Ｆ

 
１００００１６１０




２，１６進だけでなく５，７進数だって２０進数だって存在します。
それらの基数を使用しないのは、単純に利用価値(メリット)がほとんどないから、です。
２進数は、コンピュータが理解するデジタル信号に使用されますし、
１６進数は、２進数の延長で１ＫＢ(１,０２４)や１ＭＢ(１,０４８,５７６)を表すのに簡単です。
また、２進数の４桁分が１６進数の１桁に相当し、考えてすぐに暗算でも変換できます。
例えば「１１００１００１」という２進数ならば、「１１００」「１００１」と２つに分解し、
それぞれを１６進数で表すと「Ｃ」と「９」になりますが、
実際「１１００１００１」は１０進数で「２０１」であり、１６進数にすると「Ｃ９」です。
尚、通常は何進数を表しているのか「１１００１００１(２)」という様にカッコ書きで表します。


ＨＳＰ２用ですが、ＴＩＰＳにある基数変換アルゴリズムは次のようにして計算しています。
１０から２進数の変換を例にすると、１０進数の数値を２で割って出たあまりを一番目の桁とします。
そして商(割って出た答え)を使って２で割り商、余りを出し、商が０になるまで繰り返します。
「１１(１０)」を２進数に変換する例を書いてみましょう。


 
1１１÷２(基数)の計算をする

 
2出てきた余り「１」を１桁目とする１(２)

 
3商「５」を使って５÷２を計算する

 
4出てきた余り「１」を２桁目とする１１(２)

 
5商「２」を使って２÷２を計算する

 
6出てきた余り「０」を３桁目とする０１１(２)

 
7商「１」を使って１÷２を計算する

 
8出てきた余り「１」を４桁目とする１０１１(２)

 
9商が「０」になったので終了する




２進数から１０進数に直すのも簡単で、
それぞれの桁の数値に、桁に付く重み(係数)を掛けて全ての桁を足すと答えが出ます。
「１１０１(２)」を例として流れを書いてみましょう。


 
1１桁目の数値「１」×係数「１」を計算する１(１０)

 
2２桁目の数値「０」×係数「２」を計算する０(１０)

 
3３桁目の数値「１」×係数「４」を計算する４(１０)

 
4４桁目の数値「１」×係数「８」を計算する８(１０)

 
5数値を全て足して終了１３(１０)




１６進数にしろ、何進数にしろ、基数が変わっても計算方法は同じです。
おさらいとして、２進数「１０１１０１００１」が１０進数で幾つか係数付きで書いておきます。



＋＋＋＋＋＋＋＋


２５６１２８６４３２１６８４２１係数


×××××××××


１０１１０１００１(２)


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−


２５６０６４３２０８００１＝　３６１(１０)





２，１６進数についての説明をわかりやすく書いたつもりですが、ご理解いただけましたか？
ロジックが今ひとつ分からない方は、そのスクリプトを解析して研究してみてはいかがでしょう？